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di Maurizio Berninon solo matematica

29/04/2014

Insiemi sì... ma nell'insieme

Molti di noi, nel nostro percorso scolastico, sono stati contagiati da un certo tipo di argomenti, denominati nel loro insieme “matematica moderna”. Essi sono frutto di un indirizzo pedagogico-didattico che prese le mosse intorno agli anni ‘50 e ’60, e che si è espresso principalmente attraverso i convegni internazionali della CIEAEM (Commission Internationale pour l’Etude et l’Amélioration de l’Enseignement des Mathématiques). Nata dall'idea di un gruppo di matematici, pedagogisti e filosofi, la Commissione Internazionale si proponeva lo scopo di adeguare la qualità dell'insegnamento della matematica alle esigenze di una società, quella del secondo dopoguerra, in rapido sviluppo scientifico e tecnologico.

Caleb Gattegno, Gustave Choquet, Jean Piaget erano tra di essi. E' difficile entrare nel merito della fondatezza dei presupposti scientifici e pedagogici che portarono a certe scelte, anche piuttosto radicali, come quella, nell'insegnamento secondario, di sostituire la geometria euclidea con la geometria delle trasformazioni (programma di Klein), o quella di dare ampio risalto alle strutture tipiche dell'algebra astratta, come i gruppi, gli anelli e i corpi. Vorrei piuttosto concentrare l'attenzione sulla cosiddetta “Teoria degli insiemi”, che ha accompagnato l'esperienza matematica di generazioni di studenti degli ultimi decenni fin dalle prime classi elementari.

Oggi sembra che l'argomento sia decisamente fuori moda; il primo “colpo” fu inferto già nel 1979, con i programmi per la scuola media del DM del 9 febbraio: “Il linguaggio degli insiemi potrà essere usato come strumento chiarificatore, di visione unitaria e di valido aiuto per la formazione di concetti. Si eviterà comunque una trattazione teorica a sé stante, che sarebbe, a questo livello, inopportuna.”

Nelle Indicazioni nazionali per i licei del 2010 la parola “insieme” compare solo nella frase seguente, riferita al Tema Relazioni e Funzioni: “Obiettivo di studio sarà il linguaggio degli insiemi e delle funzioni (dominio, composizione, inversa, ecc.), anche per costruire semplici rappresentazioni di fenomeni e come primo passo all’introduzione del concetto di modello matematico.”

Ma perché gli insiemi dopo un grande successo iniziale sono stati messi in soffitta senza tanto clamore? Diamo un'occhiata alla storia: la matematica ha fatto a meno degli insiemi per più di duemila anni; in tutti questi secoli si è imparato a contare, a misurare, a calcolare, a congetturare, dimostrare, riconoscere la necessità di basi assiomatiche e a costruirle, senza che a nessuno fosse venuta in mente la necessità di introdurre il concetto di insieme. Poi, verso la fine dell'800 e nei primi decenni del '900, succede qualcosa che mina le basi stesse della matematica: si assiste alla cosiddetta “crisi dei fondamenti”. Hilbert, con il suo formalismo sottile (“si deve sempre poter dire al posto di ‘punti, rette, piani’, ‘tavoli, sedie, boccali di birra’...”), critica colui che fino a qualche decenni prima era considerato il massimo modello di pensiero logico deduttivo, il vecchio Euclide, evidenziando lacune formali anche piuttosto gravi negli assiomi della sua geometria (ad es. la mancanza di assiomi sull'ordinamento e sulla continuità della retta).
Peano, Frege, Russell gettano le basi per la logica formale... Gödel arriva addirittura a concepire e dimostrare il famoso teorema di incompletezza secondo il quale risulta impossibile, all'interno di una teoria, stabilire la non contraddittorietà del sistema di assiomi posto a base della stessa, se essa è sufficientemente potente da comprendere, per esempio, l'aritmetica. Ecco che fa capolino questa “Teoria degli insiemi”, bellissima e terribile allo stesso tempo, che da una parte unifica tutta la matematica (ramificata già allora in una miriade di settori specialistici), facendo diventare teoremi quelli che nelle singole teorie svolgevano il ruolo di assiomi, come quelli di Peano per i numeri naturali, e da un'altra è talmente sottile e a tratti controintuitiva da mettere in difficoltà filosofi di grande valore come Gottlob Frege, e aver fatto quasi impazzire matematici di grande spessore come Cantor. Quest'ultimo sembrava riflettere nei suoi disturbi psichici le incredibili proprietà degli insiemi infiniti, che lui aveva scoperto essere infiniti a loro volta in quanto alle differenti cardinalità; come se la sua mente percepisse chiaramente la propria inadeguatezza davanti a questi oggetti misteriosi... e la sua mente, utilizzata come “strumento di misura”, andasse necessariamente “fuori scala”... E a proposito di Frege, si pensi a tutto l'edificio logico formale che aveva faticosamente costruito, spazzato via dalle due righe del famoso Paradosso di Russell. Il paradosso riguarda una strana proprietà che dovrebbe essere posseduta dall'insieme I di tutti gli insiemi, cioè quella di appartenere a se stesso come elemento, il che porta automaticamente ad una catena infinita di appartenenze:

una tale stranissima proprietà ci suggerisce di non considerare questo come un insieme “ordinario”, ma di scartarlo a priori. Ma anche collezionando tutti gli insiemi “ordinari” (quelli cioè che non sono elementi di se stessi) in una specie di superclasse 

si trova ugualmente una conseguenza assurda:

era proprio questa la formulazione classica del paradosso: la superclasse è un oggetto che se soddisfa la sua proprietà caratteristica allora non gli appartiene come elemento, e se invece le appartiene come elemento, allora non soddisfa la sua proprietà caratteristica! 

Solo nel 1922, con gli assiomi di Zermelo Fraenkel, si sistematizzò la Teoria degli Insiemi eliminando, tra l'altro, il paradosso di Russell. Di tutta questa storia, certamente appassionante e complessa, quale senso aveva  (se ce l'aveva) riportarla nella scuola, fin dalle prime classi elementari? Si è dato il nome di “Teoria degli insiemi” a un tipo di trattazione, generalmente contenuta nel primo capitolo dei libri di testo, che nulla ha a che fare con una vera teoria matematica: priva di assiomi, di vere definizioni (perfino la parola “insieme” non può essere definita, se non implicitamente attraverso gli assiomi), in cui vengono contrabbandate come tali solo i giri di parole e le spiegazioni intuitive che fanno uso di sinonimi;  una teoria, infine, priva di teoremi. É giusto fare riferimento all'intuizione per imparare a effettuare raggruppamenti di oggetti materiali o mentali in base a delle caratteristiche comuni prefissate, ma allora perché parlare di “teoria”?

 La parola “Insiemistica” è molto più onestamente appropriata. Si è visto introdurre il concetto di numero ai bambini dell'età di sei-sette anni come “classe di equivalenza di insiemi equipotenti”... peccato che queste classi di equivalenza siano definite in un “universo”, l'insieme di tutti gli insiemi, che, come abbiamo visto, non esiste neanche! Ma davvero l'uomo ha imparato a contare considerando enormi classi di equivalenza di insiemi equipotenti inserite in una superclasse paradossale? … o non ha fatto piuttosto uso di sassolini (i calcoli, per l’appunto) per costruire corrispondenze biunivoche, di tacche sulle ossa di animali, o su pietre per “mettere in fila” i primi prototipi di numeri naturali, scoprendo nella propria mente la natura cardinale e ordinale del contare?  E poi le addizioni, le sottrazioni, le moltiplicazioni... c'è davvero bisogno di effettuare l'unione di insiemi disgiunti, la differenza insiemistica, il prodotto cartesiano... (...e se i numeri sono davvero classi di insiemi, e non singoli insiemi, tutto ciò non basterebbe neanche, bisognerebbe dimostrare che si tratta di “buone definizioni”...). 

Forse, l'aver messo in soffitta la “Teoria degli insiemi” così in sordina è servito solo a evitare l'imbarazzo di dover ammettere quanto sia stato velleitario e inutile gettarsi a capofitto sull'utilizzo di uno strumento sofisticatissimo, sfuggente perfino agli studiosi più preparati, messo in mano a bambini che avevano solo bisogno di imparare a  far di conto, e a ragazzi che invece di essere subissati da sovrastrutture complicate avevano piuttosto bisogno di imparare a ragionare con lo stupore della scoperta, quello stesso stupore che ci piace ricordare in Galileo,  il quale, alcuni secoli prima di Cantor, non si capacitava dell'esistenza di un insieme che si riproduce dentro una piccolissima parte di se stesso:

“Converrà dire che i numeri quadrati siano tanti quanti tutti i numeri, poiché tanti son quante le lor radici […] e pur dicemmo tutti i numeri esser assai più che tutti i quadrati, essendo la maggior parte non quadrati...” (Galileo Galilei, Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze, Prima giornata, 1638).

Di che cosa parliamo

La matematica accompagna tutto il percorso formativo di ognuno di noi, dalla scuola materna all'università. Non avrebbe senso un insegnamento così lungo se non fosse uno strumento di cittadinanza. La questione, che sembra riguardare solo gli allievi, in realtà è rivolta simmetricamente anche a noi docenti e ci interroga sul nostro modo di essere cittadini e insegnanti: con i nostri bisogni dell' essere ascoltati, dell'esprimerci, di avere occasioni di confronto e di formazione; con il nostro ruolo sociale, che necessita di un più adeguato riconoscimento. Senza una cittadinanza agìta e matura non basteranno le competenze disciplinari e didattiche e neanche l'entusiasmo e l'impegno, per far sì che i nostri allievi ci considerino punti di riferimento credibili del mondo adulto di cui entreranno a far parte.

 

L'autore

Insegnante di Matematica nelle Scuole superiori dal 1987, si occupa di ricerca didattica, di formazione dei docenti di matematica e di professionalità docente. Collabora col CIDI dal 1990. Ex supervisore di tirocinio presso la SSIS Toscana, dal 2007 al 2013 è stato vicepresidente del GFMT, gruppo di formatori fondato da Giovanni Prodi; attualmente è membro della Commissione Italiana per l'Insegnamento della Matematica e formatore ANFIS per i tutor dei tirocinanti.

maurizio.berni@istruzione.it

http://www.dm.unipi.it/fim/berni.htm