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di Maurizio Berninon solo matematica

22/02/2014

"Quante percentuali in queste prove!"

Le percentuali e le prove INVALSI

Mi sono sempre rifiutato di “allenare” gli studenti alle prove INVALSI. Tuttavia, l'anno scorso in prossimità della prova, ne abbiamo parlato (insegno in una seconda superiore di un istituto tecnico), come di una prova che avremmo fatto senza particolari preparazioni: se il nostro lavoro era abbastanza in linea con le linee guida nazionali, e se le prove INVALSI sono costruite a partire dalle stesse linee guida, non avremmo avuto motivo di dubitare che quelle prove sarebbero state coerenti con le cose che si facevano in classe, quindi qualsiasi allenamento sarebbe stato inutile; se invece, a posteriori, i test o alcuni di essi si fossero rivelati lontani da ciò che si faceva in classe, allora o il nostro lavoro in classe o le prove INVALSI si sarebbero rivelati divergenti, in tutto o in parte, rispetto alle linee guida; nel primo caso sarebbe stato doveroso un riallineamento del nostro lavoro in classe, nel secondo sarebbe stata altrettanto doverosa una segnalazione all'INVALSI, visto che il suo ruolo è quello di valutare il sistema nazionale di istruzione. Dunque, di che preoccuparsi a priori? Di che cosa si deve preoccupare a priori una persona che si accinge a fare un check up periodico (e non conseguente a qualche specifico problema) per monitorare il suo stato di salute? Più che la preoccupazione lo stato d'animo più naturale dovrebbe essere la curiosità. Ma il vissuto dei ragazzi nei confronti di queste prove era già compromesso, in particolare  per la presenza del test INVALSI nell'esame di terza media, che deve aver creato non pochi stress a loro e ai loro insegnanti; e questo è naturale. Non voglio affrontare qui l'opportunità o meno di inserire una prova unica nazionale in un esame di stato, voglio solo far notare che è diverso l'atteggiamento di uno studente che si vede valutato da questa prova da uno che invece non lo è, come non lo è, attualmente, lo studente di seconda superiore.

Vista la situazione, mi è sembrato opportuno mostrare loro la prova dell'anno precedente, e organizzare una simulazione: avrebbero visto come era fatto il fascicolo, quanti quesiti erano a risposta aperta, quanti a riposta chiusa, che tipo di richieste c'erano, e anche i famosi contenuti su cui c'era tanta incertezza e su cui permaneva un residuo di preoccupazione vissuta all'esame di stato del primo ciclo.

Ho chiesto ai ragazzi di affrontare da soli la prova, di non comunicare tra loro, tranquillizzandoli sulla valutazione, ma di segnalarmi ogni aspetto che sentissero il bisogno di comunicare: un testo poco chiaro, una parola sconosciuta, anche apprezzamenti in positivo e altro ancora.

A un certo punto si leva un commento a voce alta: “Però professore, quante percentuali in queste prove INVALSI!” Rispondo: “E secondo te è una scelta giusta o sbagliata?”; ribatte lo stesso ragazzo: “Beh, rispetto alle espressioni letterali...” Non sono in grado di capire se ho interrotto io la frase, magari lasciandomi sfuggire involontariamente uno sguardo un po' contrariato, oppure se è stato il mio studente che ha avuto la sensibilità di fermare quella frase che troppo feriva, forse, la mia passione per l'algebra che lui ben conosceva; ma anche il solo inizio era eloquente, e si potrebbe terminare in molti modi, tipo:

“...sono più utili nella vita di tutti i giorni”, oppure, “...sono più semplici”, oppure, penso io, sono più complicate (i ragazzi, e non solo i miei, secondo i dati INVALSI continuano a sbagliarle in grande... percentuale), e perché allora mettere la testa sotto la sabbia, ignorare la difficoltà e passare oltre, con prodotti notevoli e frazioni algebriche?

Percentuali e calcolo letterale

Dei quesiti sulle percentuali ce n'è una tipologia che spiazza un po' tutti, anche gli adulti, perfino gli adulti esperti, perché antiintuitivi; la sua forma più divertente (nel senso di stimolante; non è invece divertente sbagliare, magari in pubblico, la risposta a questa domanda), secondo me è questa:

Aumentando del 10% la base di un rettangolo, e diminuendo del 10% la sua altezza, cosa succede all'area?

La prima risposta che viene spontanea, anche a chi la matematica la sa, è: “Aggiungi il 10% da una parte, togli il 10% dall'altra... le cose si compensano e l'area rimane invariata”.
Ma con un minimo di “intelligenza scolastica” chiunque, subito dopo aver dato questa risposta, sarebbe assalito da un dubbio: “Se la risposta è davvero così banale, non può essere quella vera, cosa c'è dietro?”. 

Penso che senza il calcolo esplicito sia quasi impossibile arrivare al risultato in termini intuitivi (ecco quindi che anche quel minimo di calcolo letterale “sensato”, cioè riferito a situazioni problematiche e non fine a se stesso, serve); anzi sono certo che come me molti, guardando allibiti quel risultato, lo ricontrollerebbero per vedere se c'è qualcosa di sbagliato, tanto è inaspettato. Per inciso, un risultato inaspettato è quanto di più stimolante per l'apprendimento.

Un'altra forma dello stesso problema  (che potremmo etichettare come problema inerente la “composizione di percentuali”) riguarda lo sconto e il rincaro successivo, della stessa percentuale, di una data merce: ho un prezzo iniziale p, applico prima uno sconto del 10% e il prezzo diventerà 0,9p; dopodiché, rialzandolo del 10%, non otterrò più il p iniziale, e qui il perché si capisce bene: ora la percentuale è calcolata su un prezzo più basso; il 10% di 0,9p è 0,09p, che aggiunto a 0,9p restituisce il valore che (ora) ci attendiamo, cioè 0,99p.

E se applicassimo prima il rincaro e poi lo sconto, sempre del 10%? Ma certo, i dati sono diversi ma alla fine è la stessa cosa: 1,1p è il prezzo rincarato, 0,11p lo sconto e quindi 0,99p il prezzo finale.

E se cambiassimo la percentuale? Ecco a cosa servono le lettere: a generalizzare, per capire se un certo fenomeno dipende dalla scelta del dato iniziale oppure no: chiamiamo s la percentuale; nel caso dell'area del rettangolo avremo:

e analogamente, nel caso del prezzo prima ribassato e poi rincarato, o viceversa, avremo:

ecco che spunta il famoso prodotto notevole 

...e se allungo la base di una percentuale s e accorcio l'altezza di una diversa percentuale t? Può darsi che con certi valori delle due percentuali l'area possa anche aumentare?

...Non si finirebbe mai di porci domande, e un problema è bello ed è vero quando suscita proprio questo susseguirsi di stimoli uno sull'altro, altrimenti è un “esercizio”.

“Risolvere e porsi problemi” si legge, tra le competenze attese, sul Quaderno dell'Unione Matematica Italiana “Matematica 2003”; spesso si dà molta enfasi al primo aspetto e si sottovaluta il secondo, e certamente chi sa risolvere problemi eteroposti ha molte carte da giocare sul piano della competitività, per esempio, sul mercato del lavoro; ma certamente il porsi problemi, con la sua caratteristica di pensiero creativo e divergente, e con il suo collegamento naturale alle istanze etiche e morali, è atteggiamento necessario ad integrare la costruzione di una cittadinanza riflessiva e consapevole.

Di che cosa parliamo

La matematica accompagna tutto il percorso formativo di ognuno di noi, dalla scuola materna all'università. Non avrebbe senso un insegnamento così lungo se non fosse uno strumento di cittadinanza. La questione, che sembra riguardare solo gli allievi, in realtà è rivolta simmetricamente anche a noi docenti e ci interroga sul nostro modo di essere cittadini e insegnanti: con i nostri bisogni dell' essere ascoltati, dell'esprimerci, di avere occasioni di confronto e di formazione; con il nostro ruolo sociale, che necessita di un più adeguato riconoscimento. Senza una cittadinanza agìta e matura non basteranno le competenze disciplinari e didattiche e neanche l'entusiasmo e l'impegno, per far sì che i nostri allievi ci considerino punti di riferimento credibili del mondo adulto di cui entreranno a far parte.

 

L'autore

Insegnante di Matematica nelle Scuole superiori dal 1987, si occupa di ricerca didattica, di formazione dei docenti di matematica e di professionalità docente. Collabora col CIDI dal 1990. Ex supervisore di tirocinio presso la SSIS Toscana, dal 2007 al 2013 è stato vicepresidente del GFMT, gruppo di formatori fondato da Giovanni Prodi; attualmente è membro della Commissione Italiana per l'Insegnamento della Matematica e formatore ANFIS per i tutor dei tirocinanti.

maurizio.berni@istruzione.it

http://www.dm.unipi.it/fim/berni.htm