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di Maurizio Berninon solo matematica

07/07/2015

"Lo vedo ma non ci credo": un viaggio oltre l'infinito

Leggiamo nelle linee guida degli istituti tecnici del settore tecnologico: “Cardinalità di un insieme. Insiemi infiniti. Insiemi numerabili e insiemi non numerabili.” Dunque è lecito porsi la domanda: che cosa c'è oltre l'infinito? Più vaghe le indicazioni nazionali per i licei: “Attraverso una prima conoscenza del problema della formalizzazione dei numeri reali lo studente si introdurrà alla problematica dell’infinito matematico e delle sue connessioni con il pensiero filosofico.” E' curiosa questa maggiore attenzione agli infiniti (al plurale) negli istituti tecnici piuttosto che nei licei.

Ci sono tanti modi per arrampicarsi all'infinito. Quello forse più naturale è a passi costanti (1,2,3,...), o a balzi costanti, coi multipli di uno stesso numero (3,6,9...); oppure a “balzi crescenti”, coi quadrati dei numeri (1,4,9,16,...), o con “balzi irregolari”, come coi numeri primi (2,3,5,7,11,13...); ma si arriva sempre allo stesso infinito?

Come abbiamo già avuto modo di osservare, tutti questi infiniti sono una stessa cosa, che i matematici hanno chiamato “infinito numerabile”. Basta mettere in corrispondenza biunivoca questi insiemi con l'insieme dei numeri naturali per rendersene conto. Non è stata una conquista facile, dal punto di vista epistemologico, comprendere questo strano tipo di “uguaglianza” tra il tutto e una sua parte; era del tutto fuori discussione che il tutto fosse sempre maggiore della parte (si veda ad esempio, Euclide, Nozione comune n.8 del libro I), ed è opportuno ricostruire in classe questa vicenda, accogliere i dubbi, le perplessità, confutarle, aprire discussioni...

Ma le linee guida parlano anche di “insiemi non numerabili”, e qui il terreno si fa minato. Ampliando l'insieme dei numeri naturali ai razionali assoluti, per esempio, si ha la percezione di un aumento abnorme della cardinalità; si passa da insiemi discreti a insiemi densi, e fra due numeri naturali troviamo un'infinità di numeri razionali. L'evidenza geometrica induce la credenza, che va smontata, di una differente numerosità dei naturali e dei razionali: in effetti i numeri razionali sono tanti quanti i numeri naturali. Io non ho mai trovato efficace il classico procedimento diagonale che permette di “numerare” i numeri razionali. Credo che sia molto più elementare e nello stesso tempo impressionante “immergere” l'enorme insieme dei numeri razionali in un piccolo, anzi piccolissimo sottoinsieme (infinito) di numeri naturali. Tecnicamente si tratta di applicare il teorema di Cantor-Schoeder-Bernstein: se si trova un'applicazione iniettiva da un insieme A ad un insieme B, cioè un'applicazione che mantiene distinte le immagini di elementi distinti, ed un'altra applicazione iniettiva da B ad A, allora gli insiemi A e B sono equipotenti; non c'è bisogno di cercare faticose corrispondenze biunivoche. Potremmo dire, concedendo all'intuizione una naturale incredulità, che i due insiemi non possono che essere equipotenti. Ma non c'è bisogno di scomodare la teoria: “sperimentare” i paradossi dell'infinito senza premettere alcunché accompagna l'intuizione (che viene molto strapazzata da questo tipo di ragionamenti) in un affascinante ma difficile cammino che porta allo scardinamento dei pregiudizi ereditati dal lungo allenamento nell'aritmetica dei numeri finiti. E' una bellissima esperienza cognitiva: le cose “vere” in matematica sono sia quelle plausibili, prevedibili, intuitive, talvolta scontate, sia quelle che “non possono essere altro che così”... anche se lasciano increduli. “Lo vedo ma non ci credo” scriveva Cantor a Dedekind in una famosa lettera del 25 giugno 1877, quando dimostrò che i punti di un quadrato si potevano mettere in corrispondenza biunivoca con quelli di un suo lato.

L'idea di immergere i numeri razionali negli interi consiste in due passi: 1) associare ad ogni numero razionale (assoluto) la frazione ridotta ai minimi termini che lo rappresenta,
 

2) associamo a questa frazione il numero naturale . È immediato verificare che si tratta di un'applicazione iniettiva. È  veramente una cosa strabiliante riuscire a far stare (senza comprimerlo!) un insieme  enorme ed affollato dentro questo sottoinsieme molto “rado” di numeri naturali. 
Ci sono i numeri reali... si parte dal numero , si dimostra che è irrazionale e quindi si scopre che c'è tutta una gamma di nuovi numeri:  … si ha la percezione di un ampliamento incredibile delle possibilità di scelta.
Il misconcetto è dietro l'angolo: forse i numeri reali sono i numeri razionali estesi a tutte le espressioni numeriche che si formano combinando quelli con le radici e le quattro operazioni? Noi sappiamo che la risposta è negativa, tuttavia qui le cose si fanno estremamente delicate, perché bisognerebbe parlare di numeri algebrici e trascendenti, un concetto che ritengo fuori dalla portata (e dall'utilità) per questa fascia di età, a prescindere dal tipo di scuola. I numeri algebrici sono tutti quelli che sono soluzioni di equazioni polinomiali a coefficienti interi. Per esempio, ponendo un numero espresso con radicali uguale ad un'incognita x, è possibile, mediante operazioni algebriche sui due membri dell'uguaglianza, ottenere un'equazione a coefficienti interi; vediamo un esempio concreto:


ovvero

E anche i numeri algebrici si possono immergere nell'insieme dei numeri razionali (quindi anche nei numeri naturali)!. Ometto i dettagli, ma l'idea è ad esempio quella di associare al numero algebrico   il numero razionale

dove gli esponenti dei primi dispari sono i coefficienti ordinati del polinomio secondo le potenze crescenti di x, e l'esponente del 2 è un numero che distingue la posizione della particolare radice del polinomio tra le sei che esso possiede nel campo dei numeri complessi, per esempio ordinandole lessicograficamente. 

E questo ci stupisce, ancora di più, tanto da chiederci se questo infinito enorme sia a sua volta superabile o meno. Forse che l'infinito è uno, insuperabile proprio in virtù della sua natura infinita? 

Ma infiniti di ordine superiore a quello del numerabile esistono, visto che le linee guida laconicamente prescrivono “Insiemi numerabili e insiemi non numerabili”, svelando subito l'assassino... . Resta il problema di come affrontare gli insiemi non numerabili; una vera sfida, a cominciare dal percepirne l'esistenza. Cantor aveva immaginato di elencare tutti i numeri reali compresi fra zero e uno, espressi in forma di allineamenti decimali, e poi, con un procedimento “diagonale” aveva definito un numero reale diverso da tutti gli altri con queste caratteristiche: la prima cifra dopo la virgola diversa dal primo numero della lista, la seconda diversa dal secondo, e così via... 

Quello che c'è di formidabile in questo “semplice” ragionamento è che mentre aggiungendo quanti elementi si vuole ad un insieme infinito non si aumenta la sua cardinalità, Cantor è riuscito a individuare un singolo elemento che dimostra che quella cardinalità non è la massima possibile. 

Due domande nascono ora spontanee: 

1. se l'infinito dei numeri reali è maggiore di quello dei numeri naturali (e anche razionali, e anche algebrici...) cosa c'è nel mezzo? Sembra così poco lo “spazio” lasciato libero dai numeri algebrici... Può essere uno spazio sufficiente per un insieme di numeri che abbia una cardinalità infinita intermedia? Ipotizzare che non ci sia nulla  costituisce la cosiddetta ipotesi del continuo, di cui è stata dimostrata l'indipendenza dagli assiomi della teoria degli insiemi: esiste quindi un modello della teoria in cui l'ipotesi è vera, ma infiniti altri modelli in cui è falsa e si può supporre che quello dei numeri reali sia un infinito che sta “due gradini” sopra il numerabile, oppure “tre gradini”, ecc...

2. oltre all'infinito dei numeri reali ci sono infiniti di ordine ancora superiore? A questa domanda ha risposto nuovamente Cantor, che con la stessa scaltrezza con cui ha dimostrato l'esistenza di un singolo numero reale che “esce” dalla numerazione fissata, ha dimostrato che se si cerca di mettere in corrispondenza biunivoca gli elementi di un insieme con i sottoinsiemi dell'insieme stesso, si riesce sempre a individuare un sottoinsieme che non è immagine di alcun elemento. Dunque i sottoinsiemi sono sempre “di più” degli elementi dell'insieme! Ecco costruita una vertiginosa scala infinita di infiniti via via crescenti: si parte da un insieme infinito; poi si fa l'insieme delle parti, poi quello delle parti del precedente, … e così via.

È  questa, secondo me, l'essenza del concetto di infinito matematico: concepire l'esistenza di una scala crescente infinita di infiniti, a partire da quello numerabile. Così come non esiste il numero più grande di tutti, non esiste l'infinito più alto di tutti... . Dal dire che esistono tutti questi infiniti al descrivere “come sono fatti” gli elementi di questi insiemi “enormi”, il passo è molto lungo.
Per esempio, già nell'insieme dei numeri reali, che si suppone “familiare”, come si scrivono questi numeri trascendenti? Non possono essere scritti come combinazioni di radici, per quanto complicate... E quanti sono? Sono molti, molti di più dei numeri algebrici, sono la “materia oscura” dei numeri reali; hanno una posizione ben definita sulla retta numerica, ma è impossibile rappresentarli con simboli numerici, e si rinuncia a farlo. Due numeri trascendenti noti agli studenti si rappresentano con simboli letterali:   ed  e=2,7182818285...; ma le dimostrazioni di trascendenza sono piuttosto recenti e complesse (quella di e è del 1873 ad opera di Charles Hermite, e quella di è del 1882, ad opera di Ferdinand von Lindemann), e capire cosa sia un numero trascendente è veramente fuori portata.  Affrontare questi tecnicismi sarebbe una forzatura irragionevole nella scuola superiore. D'altra parte, rinunciare alla ricchezza delle implicazioni matematiche e filosofiche insite nella scoperta delle equipotenze inattese, e della infinita pluralità degli infiniti, sarebbe un impoverimento culturale ed esperienziale. La scienza del novecento è tutta caratterizzata da fenomeni che hanno sfidato l'intuizione umana: si pensi alla crisi dei fondamenti nella logica, alla relatività e alla meccanica quantistica in fisica... . Il concetto matematico e filosofico di infinito si inserisce a pieno titolo in questa tappa dell'evoluzione del pensiero scientifico.

Non sono sicuro che si possa far comprendere tutto questo agli studenti, ma se si riesce a condividere almeno il senso di stupore e di smarrimento che si ha tentando di fare luce su queste cose, credo che se non altro si sia preparato il terreno per poter abbracciare, magari in età più matura, un concetto filosofico affascinante, lasciando in sospeso tanti interrogativi, e lasciandosi cullare dai versi de L'infinito di Giacomo Leopardi : “...E il naufragar m'è dolce in questo mare”...


 

Di che cosa parliamo

La matematica accompagna tutto il percorso formativo di ognuno di noi, dalla scuola materna all'università. Non avrebbe senso un insegnamento così lungo se non fosse uno strumento di cittadinanza. La questione, che sembra riguardare solo gli allievi, in realtà è rivolta simmetricamente anche a noi docenti e ci interroga sul nostro modo di essere cittadini e insegnanti: con i nostri bisogni dell' essere ascoltati, dell'esprimerci, di avere occasioni di confronto e di formazione; con il nostro ruolo sociale, che necessita di un più adeguato riconoscimento. Senza una cittadinanza agìta e matura non basteranno le competenze disciplinari e didattiche e neanche l'entusiasmo e l'impegno, per far sì che i nostri allievi ci considerino punti di riferimento credibili del mondo adulto di cui entreranno a far parte.

 

L'autore

Insegnante di Matematica nelle Scuole superiori dal 1987, si occupa di ricerca didattica, di formazione dei docenti di matematica e di professionalità docente. Collabora col CIDI dal 1990. Ex supervisore di tirocinio presso la SSIS Toscana, dal 2007 al 2013 è stato vicepresidente del GFMT, gruppo di formatori fondato da Giovanni Prodi; attualmente è membro della Commissione Italiana per l'Insegnamento della Matematica e formatore ANFIS per i tutor dei tirocinanti.

maurizio.berni@istruzione.it

http://www.dm.unipi.it/fim/berni.htm