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di Maurizio Berninon solo matematica

25/08/2017

Che cosa vuol dire risolvere un'equazione?

Il carissimo e  compianto Riccardo Ricci, in occasione degli esami per l’abilitazione dei docenti di matematica della SSIS Toscana, mi poneva insistentemente questa domanda:
“Ma che cosa significa, secondo te, risolvere un’equazione?” E poi precisava:
“Per quale motivo per le equazioni di primo grado si insegna una procedura, e per quelle di secondo si chiede di applicare una formula?”
Le sue domande andavano oltre, ma già a queste prime due non sapevo dare una giustificazione che lo convincesse, talché si decise di farne un gruppo di lavoro all’interno del tradizionale convegno del Gruppo di Formazione Matematica della Toscana “Giovanni Prodi”, che si tiene tutti gli anni nel mese di settembre, poco prima dell’inizio delle lezioni.

Personalmente questa domanda mi è sempre rimasta dentro, e quando riaffiora resta senza risposta, perché non ho mai amato quella che gli studenti chiamano la formula del delta; molti di essi la applicano ciecamente come aggrappandosi a una copertina di Linus, senza alcun ragionamento o comprensione di cosa stiano facendo. Per molto tempo tuttavia, non ho trovato un’alternativa valida; certo, non ho mai calato questa formula dall’alto, mi sono preoccupato di dimostrarla, algebricamente e geometricamente, ma tutti questi passaggi sono forse sembrati una inutile pedanteria: andando “al sodo”, era la formula del delta quella che contava e che bisognava sapere.

Così, a un certo punto, ho deciso di farmi coraggio e di ignorare quella formula. Ho poi osservato le conseguenze: non  è successo niente di grave, anzi. Ho scoperto finalmente che molti studenti non sanno calcolare “la metà di sette quarti”. Ecco, mentre ci si inoltra nel cosiddetto calcolo letterale, nei prodotti notevoli,…. fino alle equazioni di secondo grado, non ci si accorge che la metà di sette quarti per molti resta un mistero! Perché il calcolo non si richiede più, o forse non lo si è mai chiesto. Ma dov’è il problema? Non si sa come fare, ma si sa di cosa si parla, oppure non si sa neanche cosa voglia dire?

L’applicazione meccanica della formula del delta non mi aveva mai permesso di svelare quanto fossero fragili le competenze aritmetiche degli alunni, spinti a formalizzare precocemente procedure spesso prive di senso per loro, e a costruire su queste formalizzazioni vuote di significato altre formalizzazioni, sempre più vuote  di significato, ma di livello sempre più alto…. Fino a dare la sensazione diffusa di un edificio virtuale, “astratto”… e questo, invece che creare sconcerto, determina a volte un certo compiacimento, perché la matematica sarebbe, a detta di molti, un’astrazione…

Sì, ma non in questo senso. Astrarre non significa perdere significato, un po’ come in certe trasmissioni televisive in cui si parla di “misteri della scienza”, no, proprio non così. La scienza che si fa a scuola non può essere quella dei misteri, deve essere quella della consapevolezza. Lasciamo ad altri la spettacolarizzazione. Astrarre in matematica significa capire che gli oggetti mentali con cui si lavora rientrano in categorie che diventano così familiari da diventare esse stesse oggetti da manipolare, su cui operare e con cui familiarizzare sempre di più, fino a “sentire”, in una modalità forse più istintiva che razionale, che queste categorie si possono a loro volta classificare, raggruppare in categorie di categorie, mettere in relazione tra loro,… farle diventare nuovi oggetti familiari, e così via, senza un limite predefinito.

Questo processo è ben descritto da Anna Sfard in ciò che lei chiama interiorizzazione, condensazione e reificazione [1]. Ovviamente si tratta di un processo a spirale, che porta a livelli sempre più profondi di conoscenza. Viceversa, l’ambizione di giungere alla formalizzazione “per le vie brevi”, cortocircuitando storia della scienza, bisogni, percorsi di apprendimento, se da una parte, in modo più o meno casuale, intercetta le mappe cognitive di alcuni allievi particolarmente dotati, nella maggior parte dei casi porta a una evaporazione di significato, se non, ahinoi, a una solida costruzione di misconcetti, ovvero realtà terribilmente concrete di sciocchezze: vuoti che vengono riempiti dal bisogno innato di dare significato alle cose che non si comprendono.

Senza girare troppo intorno alla questione delle equazioni di secondo grado, dirò, senza mezzi termini, che non è possibile parlare di competenze matematiche se si cala dall’alto la “formula del delta” senza che essa possa essere la condensazione (proprio nel senso di Sfard) di una procedura che, per quanto meccanica, corrisponde a una serie di operazioni che hanno un significato che deve essere continuamente richiamato, finché lo studente non è in grado di spiegare a un suo compagno il come e il perché quella procedura è utile e porta al risultato voluto, a dimostrazione della interiorizzazione del processo e dei concetti che ci stanno dietro.

Sto parlando del metodo di completamento del quadrato. Ho visto ragazzi dal curricolo insufficiente appassionarsi nel ricavare da soli la formula risolutiva, dopo aver interiorizzato questo metodo, quasi che il loro cervello tornasse a respirare, dopo essere stato ottuso (nel senso proprio di participio passato di ottundere) dal lungo esercizio di pensare su cose dal senso ormai evaporato.

I ragazzi con difficoltà ci aprono quotidianamente un libro di storia della matematica: le formule, come le conosciamo ai nostri giorni, arrivano dopo il 1500, dopo un lungo percorso, durato millenni, di condensazione di concetti matematici. Il metodo di completamento del quadrato, che è una procedura e non una formula, era conosciuto per alcuni casi particolari fin dai Babilonesi, fu ben descritto da Euclide nei suoi Elementi in forma geometrica (prop. 5 del libro II), è passato attraverso la matematica araba, ed è giunto fino a noi [2], ma viene spesso ignorato nell’insegnamento. Perché?

Il metodo può essere introdotto, come facevano gli antichi, con un problema:
“Un rettangolo ha area 45 cm2. La base supera di 4 cm l’altezza. Quanto vale l’altezza?”

Si tratta di impostare l’equazione che può essere risolta facilmente con la legge di annullamento del prodotto:, da cui: : quindi  e le dimensioni del rettangolo sono 5 e 9 cm. E se l’area fosse 50? La soluzione non può non esistere, perché il rettangolo è poco più grande…

Ecco che si tratta di fare un lavoro intenso di tipo sia algebrico che geometrico, di scoperta, di taglia-incolla, di trasformazione della forma della figura e di trasformazione dell’espressione ... in modo tale che, come suggerito da un alunno durante il lavoro, 

"si possa riscrivere l’espressione usando una sola volta la x".

Dopo circa un’ora di lavoro sul polinomio e tagliando con le forbici il rettangolo di dimensioni x e x+4, in genere si giunge alla soluzione:

Ricavare l’incognita dall’equazione , senza dare indicazioni è un’altra attività di scoperta: i più saranno portati istintivamente a sviluppare il quadrato, e si accorgeranno di fare un passo indietro; dopo vari tentativi si avrà l’intuizione che occorre fare operazioni che “liberino” la x da tutto ciò che la circonda… il termine noto a primo membro, il quadrato, il +2…

L’espressione può diventare via via più complessa, si può mettere un coefficiente dispari alla x di primo grado, un coefficiente diverso da 1 a quella di secondo grado…;  ecco da dove nasce il problema di trovare la metà di un numero; dapprima un numero dispari, poi una frazione… ed è importante sollecitare questa capacità; la formula dell’equazione di secondo grado viene in genere dimenticata dal cittadino adulto che non si occupa di matematica; ma saper calcolare la metà di un numero credo che sia una competenza necessaria per la cittadinanza.

 

Note

1. Si vedano ad es. gli appunti di Michele Cerulli .
2. Si veda ad esempio questo materiale di Silvia Giacardi.

 

Di che cosa parliamo

La matematica accompagna tutto il percorso formativo di ognuno di noi, dalla scuola materna all'università. Non avrebbe senso un insegnamento così lungo se non fosse uno strumento di cittadinanza. La questione, che sembra riguardare solo gli allievi, in realtà è rivolta simmetricamente anche a noi docenti e ci interroga sul nostro modo di essere cittadini e insegnanti: con i nostri bisogni dell' essere ascoltati, dell'esprimerci, di avere occasioni di confronto e di formazione; con il nostro ruolo sociale, che necessita di un più adeguato riconoscimento. Senza una cittadinanza agìta e matura non basteranno le competenze disciplinari e didattiche e neanche l'entusiasmo e l'impegno, per far sì che i nostri allievi ci considerino punti di riferimento credibili del mondo adulto di cui entreranno a far parte.

 

L'autore

Insegnante di Matematica nelle Scuole superiori dal 1987, si occupa di ricerca didattica, di formazione dei docenti di matematica e di professionalità docente. Collabora col CIDI dal 1990. Ex supervisore di tirocinio presso la SSIS Toscana, dal 2007 al 2013 è stato vicepresidente del GFMT, gruppo di formatori fondato da Giovanni Prodi; attualmente è membro della Commissione Italiana per l'Insegnamento della Matematica e formatore ANFIS per i tutor dei tirocinanti.

maurizio.berni@istruzione.it

http://www.dm.unipi.it/fim/berni.htm