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di Maurizio Berninon solo matematica

18/12/2014

Lo zero e le sue suggestioni

Due per zero due, a per zero a, zero diviso uno non si può fare, zero su zero, zero..... Sono solo alcuni dei tanti errori ricorrenti riguardanti lo zero, un concetto che i nostri allievi conquistano a fatica; lo colgono per un attimo, poi sfugge, si riavvicina, credono di averlo catturato e poi sfugge di nuovo... Come un'ossessione, questi errori che vanno e vengono anche dalla stessa persona, magari spariscono e poi riemergono… perseguitano ogni insegnante di matematica lungo tutta la sua carriera… “Ma come, sono venti, trent'anni che ve lo dico!”.
Tuttavia, se guardiamo alle nostre classi come a un libro vivente di storia, aperto davanti ai nostri occhi, la cosa ci dovrebbe quasi emozionare. Perché questa storia viene ripercorsa, come una memoria che, in un periodo come il nostro che ci rende assuefatti all'oblio, si rinnova tutti i giorni, si racconta, senza filtri, genuina. I nostri allievi, soprattutto i più deboli, ci mostrano tutto l'umano sforzo di passare dal “nulla”, quel nulla che gli antichi greci non potevano concepire, all'oggetto “zero”, che è cifra, numero, cardinalità, segnaposto (grande conquista quella del sistema posizionale, sconosciuto a civiltà avanzatissime, anche dal punto di vista tecnologico, come quella greca e romana...). I nostri ragazzi sono “nativi digitali”; prima ancora che nel senso tecnologico del termine, nel senso di ragazzi nati nel mondo delle cifre (digit), e quindi abituati fin da piccoli a manipolare grandezze con il sistema posizionale; per questo appaiono molto più smaliziati rispetto allo zero, più di quei grandi matematici, che pur avendo inventato strumenti tecnici raffinatissimi, fino alla fine dell'ottocento non accettavano ancora che lo zero potesse far parte dell'insieme dei numeri naturali. 

I ragazzi parlano dello zero come qualcosa di familiare, lo nominano, lo usano, sanno anche descriverlo in termini di cardinalità dell'insieme vuoto (anche se magari non sanno né possono sapere il vero significato di “cardinalità”); ...ma poi il peso di un concetto complesso come questo fa barcollare il loro assetto cognitivo; basta girarci un po' intorno ed emergono le contraddizioni, soprattutto quando si passa dagli aspetti descrittivi a quelli operativi: quanto fa zero su zero? Cosa si può dire di due numeri se si sa che il loro prodotto è zero? Lo zero è cosa troppo grande per poter essere dominata così presto. Eppure qualche imbarazzo resta anche nel mondo adulto, visto che ogni tanto fanno capolino modi di esprimersi che mostrano tutta la loro incoerenza, perfino all'interno delle convenzioni matematiche. Ne segnalo solo alcuni. 

“Resto pari”: si esegue una divisione in colonna, l'ultimo resto è, appunto, zero, che ha tutta la dignità, in questo contesto, di essere un numero come tutti gli altri, ma no, la consuetudine è quella di scrivere due barre oblique: perché? E poi, la parola “pari” non è già “occupata” da un altro concetto? Ma neanche nella moltiplicazione in colonna, con il moltiplicatore, per esempio, di due cifre, lo zero ha destino migliore: si moltiplica l'ultima cifra del moltiplicatore per tutte le cifre (partendo dall'ultima) del primo fattore, e poi si ricomincia con la penultima cifra del moltiplicatore... non prima di aver messo un puntino sotto l'ultima cifra del prodotto appena scritto! E cosa sarà mai questo puntino? Perché il puntino, le barre oblique? Perché non lo zero, l'unico vero oggetto matematico (puntini e barrette non lo sono!) che ha il diritto (e avrebbe forse il dovere) di occupare quelle posizioni?

Se si esce dalla matematica le due lineette, o anche una sola lineetta obliqua, soppiantano lo zero quasi sistematicamente: nella colonna del numero di assenze di un registro (cartaceo) se un ragazzo è sempre presente non scriviamo zero ma sbarriamo la casella, perché non ci sono assenze; qui lo zero regredisce al significato primitivo del nulla, perde la sua dignità di numero, eppure siamo in una colonna di numeri! Non c'è niente di peggio, in matematica, che confondere lo zero con il nulla.
Quando qualcosa non c'è, come per esempio la soluzione di un'equazione del tipo x^2+ 1= 0,  diciamo anche che siamo di fronte a qualcosa di impossibile. Non sono sicuro che questa sia la locuzione più felice, anche perché siamo ormai troppo abituati agli artifici tecnici con cui i matematici rendono possibile l'impossibile, attribuendo quindi a questa parola (che ha una sua suggestione) un significato ben diverso rispetto a quello attribuito nel linguaggio naturale. Come nel caso qui descritto: l'equazione x^2 + 1 = 0 diviene possibile con l'invenzione dei numeri immaginari (altra parola suggestiva...; se la mettiamo insieme a quell'altra che descrive altri numeri, gli irrazionali,... verrebbe da chiedersi se siamo sicuri che si stia parlando di matematica: stiamo parlando di cose immaginarie, irrazionali, impossibili...). Parole suggestive, che lasciano aloni emotivi dai quali non è facile ritagliare significati tecnici non ambigui. Una volta un alunno mi ha chiesto turbato cosa sono i numeri reali. Si era reso conto solo in quel momento di quella parola, anche se la stavamo usando da tempo. Non riusciva a pensare a cosa potesse essere un numero irreale, per questo non riusciva a circoscrivere il concetto.... 

Ma torniamo allo zero e al nulla. Finché ci si imbatte separatamente in questi due concetti, si possono anche confondere, perché la loro ambiguità è innocua, non provoca conseguenze. Dire che non ci sono assenze (barra obliqua nella relativa casella) o che ci sono zero assenze non fa cambiare la sostanza di una persona che è stata sempre presente alle lezioni. Ma ci sono occasioni in cui lo zero e l'inesistente (il nulla, l'impossibile...) compaiono sulla stessa scena, e li si possono vedere in faccia contemporaneamente così da riconoscerli e distinguerli: per esempio nell'equazione della retta in forma esplicita: y = mx + q. Se m=0 la retta è parallela all'asse x,  ma che succede quando la retta è parallela all'asse y ? m non c'è, non esiste... Ma allora vale zero? No, no, non c'è proprio, se valesse zero ci sarebbe... Ma allora c'è solo la q ? No, no, assolutamente: non c'è neanche la  q: la q rappresenta l'ordinata dell'intersezione con l'asse  y, e se la retta è parallela all'asse  y come fa ad esserci questa intersezione? Ma le rette parallele non si incontrano all'infinito? Oppure è più corretto dire che non si incontrano! C'è sì un misterioso legame tra lo zero e il niente, ma anche tra il niente e l'impossibile... e ora tra l'impossibile e l'infinito! In definitiva, anche tra lo zero e l'infinito, che sono due “nulla”, uno inverso dell'altro.

Però uno dei due è un numero, l'altro no, e questa è una scelta davvero convenzionale . Certo, accettando l'infinito come numero succederebbero altre cose strane:

L'infinito svolgerebbe la funzione di elemento assorbente della somma, nell'insieme numerico esteso a questo elemento, esattamente come lo zero è elemento assorbente per la moltiplicazione negli insiemi numerici senza l'infinito; risulterebbe come una specie di limite invalicabile... verrebbe da dire: “per forza, oltre l'infinito non c'è nulla!”.
 Ma questa è tutta un'altra storia.
 

 

 

Di che cosa parliamo

La matematica accompagna tutto il percorso formativo di ognuno di noi, dalla scuola materna all'università. Non avrebbe senso un insegnamento così lungo se non fosse uno strumento di cittadinanza. La questione, che sembra riguardare solo gli allievi, in realtà è rivolta simmetricamente anche a noi docenti e ci interroga sul nostro modo di essere cittadini e insegnanti: con i nostri bisogni dell' essere ascoltati, dell'esprimerci, di avere occasioni di confronto e di formazione; con il nostro ruolo sociale, che necessita di un più adeguato riconoscimento. Senza una cittadinanza agìta e matura non basteranno le competenze disciplinari e didattiche e neanche l'entusiasmo e l'impegno, per far sì che i nostri allievi ci considerino punti di riferimento credibili del mondo adulto di cui entreranno a far parte.

 

L'autore

Insegnante di Matematica nelle Scuole superiori dal 1987, si occupa di ricerca didattica, di formazione dei docenti di matematica e di professionalità docente. Collabora col CIDI dal 1990. Ex supervisore di tirocinio presso la SSIS Toscana, dal 2007 al 2013 è stato vicepresidente del GFMT, gruppo di formatori fondato da Giovanni Prodi; attualmente è membro della Commissione Italiana per l'Insegnamento della Matematica e formatore ANFIS per i tutor dei tirocinanti.

maurizio.berni@istruzione.it

http://www.dm.unipi.it/fim/berni.htm