1. Il World Logic Day e l’insegnamento della logica matematica.

Durante il mese di Gennaio ricorre la giornata della logica: il "World Logic Day",  promosso dall’Unesco. Precisamente, il giorno della logica viene celebrato il 14 Gennaio anniversario della morte di Kurt Gödel e della nascita di Alfred Tarksi.
Nella pagina web dell’Unesco dedicata a questa data si legge:

The ability to think is one of the most defining features of humankind. In different cultures, the definition of humanity is associated with concepts such as consciousness, knowledge and reason. According to the classic western tradition, human beings are defined as “rational” or “logical animals”. Logic, as the investigation on the principles of reasoning, has been studied by many civilizations throughout history and, since its earliest formulations, logic has played an important role in the development of philosophy and the sciences.

Dunque, secondo quanto letto, la capacità logica distingue e definisce l’essere umano.

Nelle "Indicazioni Nazionali" per il primo ciclo si parla di pensiero logico, abilità logiche, di gerarchia e organizzazione logico-sintattica nella struttura di una frase o di un pensiero e anche di criterio logico-cronologico.
Riferendoci in particolare alle modalità di insegnamento della logica all’interno delle ore di matematica nei diversi ordini di scuola, bisogna dire che è stata oggetto di discussione parecchio controversa.
Mi riferisco soprattutto alla tendenza, nata in Francia tra gli anni ’60 e ’70, di strutturare tutto l’insegnamento della matematica attraverso un rigido formalismo logico e di incasellare tutti i concetti in strutture conosciute. I ricercatori in didattica della matematica miravano così a riformulare lo studio degli oggetti matematici in classe, auspicando che il processo di apprendimento si sarebbe rivelato più semplice se non spontaneo. A tale ambizioso programma fu dato il nome di “Matematica Moderna”.
Alcuni matematici e alcuni insegnanti accusarono immediatamente questo approccio di essere troppo astratto. Tale è l’idea, per esempio di René Thom che nel celebre articolo “La matematica moderna esiste?” scrive polemicamente:

Gli psicopedagogisti consapevoli della indeterminatezza della loro posizione dottrinale credevano di aver trovato la soluzione dei loro problemi nelle affermazioni dei logicisti e dei matematici formalisti. Poiché si riconosceva che la progressione del pensiero matematico era modellata da quei grandi schemi formali che sono le strutture — strutture di insieme e di logica, strutture algebriche e topologiche — che il bambino apprende nei primi anni di vita, la definizione e l'uso di queste strutture sarebbero sufficienti a dargli un facile accesso alle teorie matematiche contemporanee.

Ma già qualche anno prima Emma Castelnuovo, con approccio assolutamente controcorrente per l’epoca e per il contesto della comunità scientifica a cui si riferiva, proprio in Francia, proponeva un modo di fare matematica legata ai materiali, all’intuizione, curando, in estrema sintesi, il significato dei concetti matematici piuttosto che la sintassi.
In quella occasione, precisamente nel 1949 a Parigi al "Centre International d’études pédagogiques", venne accusata di "faire les mathématiques avec le main sales" (fare la matematica con le mani sporche). Di questa accusa, successivamente, Emma Castelnuovo fece il suo punto di forza.

Di fatto l’ambizione di proporre la logica matematica, i suoi formalismi e le sue strutture come strumenti di interpretazione per tutti i concetti matematici naufragò abbastanza presto.
Come insegnare dunque la logica matematica? E a quale scopo? Innumerevoli sono gli studi in proposito. A titolo esemplificativo suggerisco la lettura di questi due articoli:

• D’ Amore B. (2005). "L ’argomentazione matematica di allievi di scuola secondaria e la logica indiana (nyaya), in La matematica e la sua didattica. 4, 481- 500. 
• Radford, Luis. (2006), The Anthropology of Meaning. Educational Studies in Mathematics. 61. 39-65. 10.1007/s10649–006–7136–7.

In entrambi questi contributi si invita ad usare gli strumenti della logica non esclusivamente per affrontare i procedimenti dimostrativi propri della matematica, ma anche per analizzare processi argomentativi sociali e culturali.

2. Un esempio: termostati e fasi della vita

Provo, nella seconda parte di questo contributo a esemplificare un possibile approccio.

Traggo il ragionamento dalla lettura di un testo classico: Kosko (1995). La logica Fuzzy”. Baldini&Castoldi.
In questo testo l’autore confronta due filosofie attraverso le quali interpretare il valore di verità di un enunciato.
Semplificando molto, all’interno della logica aristotelica, un enunciato può essere esclusivamente vero o falso; secondo la logica Fuzzy invece si possono ammettere diversi gradi di verità.
Per fare un esempio, tratto dal testo sopra citato, il termostato che regola il funzionamento dei riscaldamenti nelle abitazioni funziona proprio secondo la logica aristotelica. Sotto una certa temperatura si accendono, oltre quella temperatura si spengono. Potremmo stabilire un grafico di questo tipo:

Sappiamo però che i condizionatori più recenti calcolano la decisione di accendere o spegnere la macchina - e a quale potenza regolare l’intensità - sulla base di algoritmi più complessi, non aristotelici.
Se nel “condizionatore aristotelico" abbiamo un rilevatore del tipo freddo/caldo che confronta la temperatura esterna con una temperatura soglia, in un condizionatore fuzzy dovremmo definire cosa significa freddo e cosa si intende per caldo. Potremmo stabilire per esempio che la temperatura ottimale, da noi desiderata è 20° Celsius. Certamente non ci lamenteremmo troppo se la temperatura è 19° o 21°. Diremmo allora che la temperatura è buona al 100% se è 20° e quasi buona se 19° o 20°.

Secondo questo grafico quando la temperatura raggiunge i 22° è ottimale al 50%; a 24° o a 16° non è ottimale per niente.

Definiamo caldo invece l’ambiente quando la temperatura raggiunge, per esempio i 26°. Osserviamo nel grafico che segue che i due concetti di temperatura ottimale e caldo si intersecano. Per esempio, a 23° la temperatura è buona ma comincia ad essere calda.

E così via potremmo definire i concetti di caldissimo, fresco e freddo:

Se, per esempio, viene rilevata una temperatura di 28°, l’ambiente sarà valutato caldo al 50% e caldissimo al 20% circa. Di conseguenza un algoritmo deciderà che potenza erogare.

Pensiamo ora a qualcosa di completamente diverso: il concetto di età adulta.
Esiste un criterio per cui una persona può essere considerata bambina, adolescente, adulta, anziana?
Per lo Stato italiano un individuo può andare a votare per il parlamento al compimento dei 18 anni.
Per Google è possibile creare un account slegato da quello dei genitori al compimento dei 14 anni (al di sotto di questa età, l’account deve essere gestito da un adulto). A 14 anni si può guidare un motociclo che non superi una certa cilindrata, a 16 un altro tipo di motociclo, a 18 l’automobile che abbia - almeno per il primo anno di patente - certe caratteristiche.
Tutti questi fattori (poter usufruire liberamente di un motore di ricerca, poter guidare un mezzo, votare, poter prendere un aereo da soli, la responsabilità penale, la possibilità di avere l’indipendenza economica) insieme danno un’idea più complessa e più precisa di cosa significa essere adulti.Proviamo a considerare un caso semplice: quando si vuole acquistare il biglietto dell’aereo si viene definiti in base all’età secondo un algoritmo aristotelico: se cerchiamo i voli con il motore di ricerca di Google (in figura il primo caso) bisogna indicare se colui che viaggia è neonato, bambino o adulto. 

 

 

 

 

 

 

 

Nel caso si cerchi il volo con Ryanair si aggiunge un’altra possibilità: il caso adolescente.

 

 

 

 

 

 

In entrambi i casi comunque non ci sono sfumature. Dall’oggi al domani si passa dall’adolescenza all’età adulta. Le due fasi della vita, sempre secondo questi motori di ricerca, non hanno nulla in comune e l’individuo passa da un tipo di responsabilità (e di tariffa) ad un’altra.
Una proposta didattica che mi sono divertito a sottoporre ai miei studenti degli ultimi anni del liceo è la seguente: individuare delle strategie per cui un individuo può essere definito bambino (non neonato), adolescente, giovane, adulto, maturo, vecchio utilizzando la curva di Gauss.
La curva di Gauss può essere studiata secondo molti aspetti. Tuttavia per rappresentarla con un software (per esempio GeoGebra) bastano due dati: un numero che rappresenta un valore medio di riferimento ed un altro numero che rappresenta il livello di incertezza.
Per esempio, dopo ampia discussione, valutati diversi aspetti, gli studenti hanno stabilito che è bene definire giovani le persone dai 18 ai 24 anni.

Le loro riflessioni sono condensate nei seguenti grafici.

Al contrario dell’algoritmo aristotelico questo grafico definisce delle fasi della vita più sfumate e in qualche modo maggiormente analoghe alla realtà dei fatti. Non si diventa in sostanza maturi da un giorno all’altro. Ovviamente gli indicatori che definiscono le età di rifermento e gli intervalli sono arbitrari e discutibili. Ma gli studenti potranno valutarne la bontà con ulteriori osservazioni e correggere un eventuale algoritmo che sarebbe comunque più preciso di quelli a balzi visti prima.

Un simile schema potrebbe trovare varie applicazioni, tra cui quello di determinare un target più preciso per messaggi pubblicitari. Secondo questo modo di intendere, dunque, un individuo di 14 anni sarebbe già un po’ adulto ma ancora più bambino che giovane. E, per quanto mi riguarda, a 45 anni intravedo già la vecchiaia, tuttavia posso ancora definirmi più adulto che maturo.
Bontà loro.